#深入理解 Affinity Propagation (AP) 聚类算法

#算法简介与核心思想

Affinity Propagation 聚类算法简称 AP，是一个在 2007 年发表在《Science》上的聚类算法。

AP 算法的基本思想是将全部样本看作网络的节点，然后通过网络中各条边的消息传递计算出各样本的聚类中心。聚类过程中，共有两种消息在各节点间传递，分别是吸引度 (Responsibility) 和归属度 (Availability)。AP 算法通过迭代过程不断更新每一个点的吸引度和归属度值，直到产生 $m$ 个高质量的 Exemplar（类似于质心），同时将其余的数据点分配到相应的聚类中。

#核心概念与专业术语

在 AP 算法中有一些特殊名词：

• Exemplar：指的是聚类中心，相当于 K-Means 中的质心。
• Similarity：数据点 $i$ 和点 $j$ 的相似度记为 $s(i, j)$，是指点 $j$ 作为点 $i$ 的聚类中心的相似度。一般使用欧氏距离来计算，点与点的相似度值通常全部取为负值；因此，相似度值越大说明点与点的距离越近，便于后面的比较计算。
• Preference：数据点 $i$ 的参考度称为 $p(i)$ 或 $s(i,i)$，是指点 $i$ 作为聚类中心的参考度。一般取 $s$ 相似度值的中值。
• Responsibility：$r(i,k)$ 用来描述点 $k$ 适合作为数据点 $i$ 的聚类中心的程度（吸引度）。
• Availability：$a(i,k)$ 用来描述点 $i$ 选择点 $k$ 作为其聚类中心的适合程度（归属度）。
• Damping factor (阻尼系数)：主要是起收敛作用的。

核心参数提示：在实际计算应用中，最重要的两个参数（也是需要手动指定）是 Preference 和 Damping factor。前者决定了聚类数量的多少，值越大聚类数量越多；后者控制算法的收敛效果。

#AP 算法与 K-Means 的对比

#AP 算法的独特优势

与经典的 K-Means 聚类算法相比，AP 聚类具有很多独特之处：

1. 无需指定聚类“数量”参数：AP 聚类不需要指定 $K$（如经典的 K-Means）或者是其他描述聚类个数（如 SOM 中的网络结构和规模）的参数。这使得先验经验成为应用的非必需条件，大大增加了适用范围。
2. 明确的质心（聚类中心点）：样本中的所有数据点都可能成为 AP 算法中的质心（叫做 Examplar），而不是由多个数据点求平均而得到的虚拟聚类中心（如 K-Means）。
3. 对距离矩阵的对称性没要求：AP 通过输入相似度矩阵来启动算法，因此允许数据呈非对称，数据适用范围非常大。
4. 初始值不敏感：多次执行 AP 聚类算法，得到的结果是完全一样的，即不需要进行随机选取初值步骤（对比 K-Means 的随机初始值）。
5. 误差平方和更低：若以误差平方和来衡量算法间的优劣，AP 聚类比其他方法的误差平方和都要低（无论 K-Center Clustering 重复多少次，都达不到 AP 那么低的误差平方和）。

#AP 算法的局限性

AP 算法相对 K-Means 鲁棒性强且准确度较高，但没有任何一个算法是完美的，AP 聚类算法也不例外：

• 算法复杂度较高（耗时较长）：AP 算法的时间复杂度为 $O(N^2 \log N)$，而 K-Means 只是 $O(N \cdot K)$。因此当 $N$ 比较大时（$N > 3000$），AP 聚类算法往往需要算很久。尤其在海量数据下运行时，耗费的时间极长。
• 参数调节的变体：AP 聚类应用中需要手动指定 Preference 和 Damping factor，这其实是原有的聚类“数量”控制的变体。

#Python 实战：基于 scikit-learn 的应用

以下使用 Python 的机器学习库 scikit-learn 应用 AP (Affinity Propagation) 算法进行案例演示。案例中，我们会先对 AP 算法和 K-Means 聚类算法的运行时间做下对比，分别选取 100、500、1000 样本量下进行两种算法的聚类时间对比；然后，使用 AP 算法做聚类分析。

#AP 与 K-Means 运行时间对比

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1import numpy as np   
2import matplotlib.pyplot as plt   
3import time  
4from sklearn.cluster import KMeans, AffinityPropagation   
5from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs   
6
7# 生成测试数据   
8np.random.seed(0)   
9centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]   
10kmeans_time = []   
11ap_time = []   
12
13for n in [100, 500, 1000]:   
14    X, labels_true = make_blobs(n_samples=n, centers=centers, cluster_std=0.7)   
15
16    # 计算 K-Means 算法时间   
17    k_means = KMeans(init='k-means++', n_clusters=3, n_init=10)   
18    t0 = time.time()   
19    k_means.fit(X)   
20    kmeans_time.append([n, (time.time() - t0)])   
21
22    # 计算 AP 算法时间   
23    ap = AffinityPropagation()   
24    t0 = time.time()   
25    ap.fit(X)   
26    ap_time.append([n, (time.time() - t0)])   
27
28print('K-Means time', kmeans_time[:10])   
29print('AP time', ap_time[:10])   
30
31# 图形展示   
32km_mat = np.array(kmeans_time)   
33ap_mat = np.array(ap_time)   
34plt.figure()   
35plt.bar(np.arange(3), km_mat[:,1], width=0.3, color='b', label='K-Means', log=True)   
36plt.bar(np.arange(3)+0.3, ap_mat[:,1], width=0.3, color='g', label='AffinityPropagation', log=True)   
37plt.xlabel('Sample Number')   
38plt.ylabel('Computing time')   
39plt.title('K-Means and AffinityPropagation computing time')   
40plt.legend(loc='upper center')   
41plt.show()  

运算结果如下：

codeCopy
1('K-Means time', [[100, 0.029999971389770508], [500, 0.029999971389770508], [1000, 0.0410001277923584]])   
2('AP time', [[100, 0.03000020980834961], [500, 1.8999998569488525], [1000, 16.31499981880188]])  

结果分析：图中为了更好的展示数据对比，已经对时间进行 log 处理，但可以从输出结果直接读取真实数据运算时间。由结果可以看到：当样本量为 100 时，AP 的速度要略快于 K-Means；当数据增加到 500 甚至 1000 时，AP 算法的运算时间要大大超过 K-Means 算法；甚至当试图运算更大的数据量（如 100,000）时，会直接因内存错误而被迫中止。

#AP 聚类算法代码示例

pythonCopy
1from sklearn.cluster import AffinityPropagation   
2from sklearn import metrics   
3from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs   
4import numpy as np   
5
6# 生成测试数据   
7centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]   
8X, labels_true = make_blobs(n_samples=300, centers=centers, cluster_std=0.5, random_state=0)   
9
10# AP 模型拟合   
11af = AffinityPropagation(preference=-50).fit(X)   
12cluster_centers_indices = af.cluster_centers_indices_   
13labels = af.labels_   
14new_X = np.column_stack((X, labels))   
15
16n_clusters_ = len(cluster_centers_indices)   
17
18print('Estimated number of clusters: %d' % n_clusters_)   
19print("Homogeneity: %0.3f" % metrics.homogeneity_score(labels_true, labels))   
20print("Completeness: %0.3f" % metrics.completeness_score(labels_true, labels))   
21print("V-measure: %0.3f" % metrics.v_measure_score(labels_true, labels))   
22print("Adjusted Rand Index: %0.3f" % metrics.adjusted_rand_score(labels_true, labels))   
23print("Adjusted Mutual Information: %0.3f" % metrics.adjusted_mutual_info_score(labels_true, labels))   
24print("Silhouette Coefficient: %0.3f" % metrics.silhouette_score(X, labels, metric='sqeuclidean'))   
25print('Top 10 samples:\n', new_X[:10])   
26
27# 图形展示   
28import matplotlib.pyplot as plt   
29from itertools import cycle   
30
31plt.close('all')   
32plt.figure(1)   
33plt.clf()   
34
35colors = cycle('bgrcmykbgrcmykbgrcmykbgrcmyk')   
36for k, col in zip(range(n_clusters_), colors):   
37    class_members = labels == k   
38    cluster_center = X[cluster_centers_indices[k]]   
39    plt.plot(X[class_members, 0], X[class_members, 1], col + '.')   
40    plt.plot(cluster_center[0], cluster_center[1], 'o', markerfacecolor=col, markeredgecolor='k', markersize=14)   
41    for x in X[class_members]:   
42        plt.plot([cluster_center[0], x[0]], [cluster_center[1], x[1]], col)   
43
44plt.title('Estimated number of clusters: %d' % n_clusters_)   
45plt.show()   

运行结果：

codeCopy
1Estimated number of clusters: 3   
2Homogeneity: 0.872   
3Completeness: 0.872   
4V-measure: 0.872   
5Adjusted Rand Index: 0.912   
6Adjusted Mutual Information: 0.871   
7Silhouette Coefficient: 0.753   
8('Top 10 samples:', array([[ 1.47504421,  0.9243214 ,  0.        ],   
9[-0.02204385, -0.80495334,  1.        ],   
10[-1.17671587, -1.80823709,  2.        ],   
11[ 0.77223375,  1.00873958,  0.        ],   
12[ 1.23283122,  0.23187816,  0.        ],   
13[-0.92174673, -0.88390948,  2.        ],   
14[ 1.65956844, -1.44120941,  1.        ],   
15[ 0.33389417, -1.98431234,  1.        ],   
16[-1.27143074, -0.79197498,  2.        ],   
17[ 1.33614738,  1.20373092,  0.        ]]))  

#参数配置与应用场景

在 scikit-learn 中，AffinityPropagation 可配置的参数如下（重点是 damping 和 preference）：

pythonCopy
1class sklearn.cluster.AffinityPropagation(damping=0.5, max_iter=200, convergence_iter=15, copy=True, preference=None, affinity='euclidean', verbose=False)  

AP 算法的应用场景： 图像处理、文本分析、生物信息学、人脸识别、基因发现、搜索最优航线、码书设计以及实物图像识别等领域。

#总结

综合来看，由于 AP 算法不适用均值做质心计算规则，因此对于离群点和异常值不敏感 ；同时其初始值不敏感 的特性也能保持模型的较好鲁棒性。

这两个突出特征使得它可以作为 K-Means 算法的一个有效补充。但在大数据量下的耗时过长，导致它的适用范围只能是少量数据；虽然通过调整 damping（收敛规则）可以在一定程度上提升运行速度（将 damping 值调小），但由于算法本身的局限性，这也只是杯水车薪。